ધારો કે y = y(x) એ વિકલ સમીકરણ (x^2 + 1)^2 fr | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2 + 1)^2 \frac{dy}{dx} + 2x(x^2 + 1)y = 1$ છે.$(x^2 + 1)^2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{x^2 + 1} y = \frac{1}{

Vedclass · Accepted Answer

$1/16$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2 + 1)^2 \frac{dy}{dx} + 2x(x^2 + 1)y = 1$ છે.$(x^2 + 1)^2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{x^2 + 1} y = \frac{1}{(x^2 + 1)^2}$ મળે છે.આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$ અને $Q(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)^2}$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2x}{x^2 + 1} dx} = e^{\ln(x^2 + 1)} = x^2 + 1$.સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ છે.$y(x^2 + 1) = \int \frac{1}{(x^2 + 1)^2} \cdot (x^2 + 1) dx + C = \int \frac{1}{x^2 + 1} dx + C$.$y(x^2 + 1) = 	an^{-1}(x) + C$.$y(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,$0(0^2 + 1) = 	an^{-1}(0) + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = 0$.તેથી,$y(x) = \frac{	an^{-1}(x)}{x^2 + 1}$.આપણને $\sqrt{a} y(1) = \frac{\pi}{32}$ આપેલ છે.$y(1) = \frac{	an^{-1}(1)}{1^2 + 1} = \frac{\pi/4}{2} = \frac{\pi}{8}$.આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\sqrt{a} \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{32}$.$\sqrt{a} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$.તેથી,$a = (1/4)^2 = 1/16$.

ધારો કે $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(x^2 + 1)^2 \frac{dy}{dx} + 2x(x^2 + 1)y = 1$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(0) = 0$ છે. જો $\sqrt{a} y(1) = \frac{\pi}{32}$ હોય,તો $a$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $y \log y \left(\frac{dx}{dy}\right) + x = \log y$ માટે સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

$\sin y \cdot \frac{dy}{dx} = \cos y(1 - x \cos y)$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\sec y + (x - e^{\sin y}) \frac{dy}{dx} = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ છે...

ધારો કે $x = x(y)$ એ વિકલ સમીકરણ $2(y + 2) \log_e(y + 2) dx + (x + 4 - 2 \log_e(y + 2)) dy = 0$,$y > -1$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $x(e^4 - 2) = 1$ છે. તો $x(e^9 - 2)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $y=Y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}+y \tan x=2x+x^2 \tan x$,$x \in \left(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ નો ઉકેલ છે,જેથી $Y(0)=1$,તો

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module